点积运算和直角叉积

  这是两个矢量：

  它们可以用 "点积" 的方法来 相乘 （也去看看叉积）。

  运算点积的结果是个 数 （是 "标量"，而不是 矢量）。

  点积是用中点来表示：a · b
  这个式子的意思是 a 和 b 的点积，

点积是这样计算的：

a · b = |a| × |b| × cos(θ)

其中：
|a| 是 矢量 a 的量值
|b| 是 矢量 b 的量值
θ 是 a 和 b 之间的 角度

把 a 的长度 乘以 b 的 长度，再乘以 a 和 b 之间的角的余弦，

我们也可以这样计算：

a · b = a_x × b_x + a_y × b_y

把两个矢量的 x 相乘，y 相乘，然后相加。

两个方法都可以！

  两个方法都可以！例子：求 a 和 b 的 点积：

  a · b = |a| × |b| × cos(θ)

  a · b = 10 × 13 × cos(59.5°)
  a · b = 10 × 13 × 0.5075……
  a · b = 65.98…… = 66 （舍入后）

  a · b = ax × bx + ay × by

  a · b = -6 × 5 + 8 × 12
  a · b = -30 + 96
  a · b = 66

  两个方法的结果是相同的（舍入后）请留意：我们用了 负6 为 a_x 的值（它指着 负x 的方向）注意：你可以用 矢量计算器 来做。

  为什么用 cos(θ) ？要把两个方向相同的矢量相乘，合理的做法是把它们的长度相乘，但如果它们的方向不同就有点不对了，所以我们乘以 cos(θ)，这就像把其中一个矢量变成 "指着另一个矢量的方向"了：

我们用与 b 方向相同的 a 的部分		好像用光照着来找影子一样

然后我们才做乘法！

如果我们把 b "投影" 到 a，然后相乘，得出来的答案将会是一样的： 因为点积乘法的次序并不重要： |a| × |b| × cos(θ) = |a| × cos(θ) × |b|

直角当两个矢量是互相垂直时，它们的点积是 零，例子：求以下矢量的点积：

  a · b = |a| × |b| × cos(θ)

  a · b = |a| × |b| × cos(90°)
  a · b = |a| × |b| × 0
  a · b = 0

  a · b = ax × bx + ay × by

  a · b = -12 × 12 + 16 × 9
  a · b = -144 + 144
  a · b = 0

  这是确定两个矢量是否互相垂直的好方法。

  三维或更高以上也适用于 3 （或更多）维，非常有用！

例子：璐璐测量了两根旗杆的尖端的位置，她想知道它们 之间的角度：

  这是个 3维 的命题，别忘了 z 的部分：

  a · b = a_x × b_x + a_y × b_y + a_z × b_z

  _{a · b = 9 × 4 + 2 × 8 + 7 × 10
  a · b = 36 + 16 + 70
  a · b = 122}

  用另一个公式：

  a · b = |a| × |b| × cos(θ)

  |a| 是什么？它是矢量 a 的量值（长度）。我们可以用勾股定理来求：

  |a| = √(4² + 8² + 10²)

  |a| = √(16 + 64 + 100)

  |a| = √180

  |b| 也一样：

  |b| = √(9² + 2² + 7²)
  |b| = √(81 + 4 + 49)
  |b| = √134

  我们在上面求到 a · b = 122，所以：a · b = |a| × |b| × cos(θ)

  122 = √180 × √134 × cos(θ)

  cos(θ) = 122 / (√180 × √134)

  cos(θ) = 0.7855……  θ = cos^-1(0.7855……) = 38.2……°

  做好了！我以前做过一个类似的运算，但那次我用角度和距离来做的 …… 非常困难，涉及很多三角法，要绞尽脑汁来做。上面的方法容易多了。

  叉积
  点积是个 标量普通的数，也称为标量积，还有一个积，叫叉积，叉积是个矢量，也称为矢量积。